音・振動・対数的ピッチ・うなり

純音は \( x(t) = A \sin(2\pi f t + \theta) \) と書けます。
振幅 \(A\) はおおむねラウドネスに、周波数 \(f\) はピッチに対応しますが、初期位相 \(\theta\) は単独では知覚にあまり寄与しません。複合音が周期 \(T\) をもつ（＝波形が \(T\) ごとに繰り返す）とき、その成分は基本周波数 \(f_0 = 1/T\) の整数倍に限られ（フーリエ級数）、ピッチは通常 \(f_0\) に対応して聞こえます。重要な注意として、ピッチは物理量ではなく知覚量です。「ピッチ＝基本周波数」は多くの場合よい近似ですが、成分の欠けた音や非整数次成分をもつ音では乖離が生じます。その代表例であるミッシングファンダメンタル（基本音が物理的に存在しないのにそのピッチが聞こえる現象）は第Ⅵ部5で扱います。

厳密には、ピッチ知覚の対数性は音楽的な音域（おおよそ 60 Hz〜4 kHz）における音程の等価性について言える経験則です。心理物理学には周波数と「ピッチの大きさ」を直接対応づけようとする mel 尺度のような別系統の尺度もあり、こちらは低域で対数から外れます。ただし旋律・和声・移調といった音楽的文脈で問題になるのは音程（比）の等価性であり、本書で扱う範囲では「等比＝等音程」を安心して土台にできます。また超高域・超低域ではオクターブ感自体が崩れ、純音の高域では聴感上のオクターブが 2:1 よりわずかに広めに好まれる「オクターブ伸長（octave stretch）」も知られています。またピアノ調律の伸長（stretch tuning）には弦の非調和性という別の要因も絡みます。これは実弦の物理の話として第Ⅰ部3の末尾で触れます。

オクターブ等価性の根拠は複合的です。
（1）音響的：1:2 の複合音どうしは部分音が完全に重なる部分集合関係になり、干渉が最小になる。
（2）生理的：聴神経の発火の時間パターン（位相固定）が単純な整数比で整合する。
（3）文化的：等価性の「強さ」は文化・訓練により変動するという報告もある。（協和の起源をめぐる論争と合わせて第Ⅵ部6）。
なお本書では以後、断りなく「音程」と言うときはオクターブに畳んだ音程（0〜1200¢）を指すことがあります。オクターブそのものを分割の対象としない音律（Bohlen-Pierce など）は第Ⅴ部6で扱います。

等振幅の2つの正弦波の和は、三角関数の和積公式により

$$ \sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t) = 2\cos\!\Big(2\pi \frac{f_1 - f_2}{2} t\Big)\,\sin\!\Big(2\pi \frac{f_1 + f_2}{2} t\Big) $$

と変形できます。すなわち平均周波数 \((f_1+f_2)/2\) の搬送波が、周波数 \(|f_1-f_2|/2\) の包絡で振幅変調された形です。包絡は1周期に2回極大をとるため、聴感上のうなりの頻度は \(|f_1 - f_2|\) 回/秒になります。

調律実務との接続：うなりは純音どうしだけでなく、複合音の部分音どうしの間にも生じます。これが調律師の耳の物差しです。例えば C4（261.63 Hz）と、12edo の完全5度上 G4（392.00 Hz）を考えます。C4 の第3倍音は 784.88 Hz、G4 の第2倍音は 783.99 Hz。両者の差 0.89 Hz が、この5度を鳴らしたときに聞こえる約 0.9 回/秒のうなりです。純正な 3/2（この場合 G ≈ 392.44 Hz）に合わせればうなりは止まります。12edo の5度が純正から −1.955¢ しかずれていないのに、うなりとしてははっきり聴取できます。
うなりを介した聴取は、単独の音高の聞き分け（第Ⅰ部5）よりはるかに精密なのです。微分音の議論で「同時に鳴らせばコンマは聞こえる」と言われる根拠がここにあります。